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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
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Práctica 8 - Integrales

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9. Utilizando los métodos de integración vistos hasta ahora en combinación con identidades trigonométricas, calcule
c) ∫ln⁡(ln⁡(x))xdx\int \frac{\ln (\ln (x))}{x} d x

Respuesta

Ahora vamos a resolver la integral

∫ln⁡(ln⁡(x))xdx\int \frac{\ln (\ln (x))}{x} d x

¿Parece haber una sustitución que nos encaja perfecto, no? Si tomamos: u=ln⁡(x)u = \ln(x) 

du=1xdxdu = \frac{1}{x} dx Entonces nuestra integral se transforma en: ∫ln⁡(ln⁡(x))xdx=∫ln⁡(u) du\int \frac{\ln(\ln(x))}{x} dx = \int \ln(u) \, du Ahora tenemos una nueva integral en términos de uu: ∫ln⁡(u) du\int \ln(u) \, du Y esta integral se puede resolver por integración por partes, la vimos en la clase de "Integrales que salen por partes usando algún truquito". Vamos a resolverla como hicimos ahí:

Reescribimos primero nuestra integral como

∫1⋅ln⁡(u)du\int 1 \cdot \ln(u) d u

Aplicamos partes:
∫f′⋅g =f⋅g−∫f⋅g′\int f' \cdot g  = f \cdot g - \int f \cdot g'
Tomamos
g= ln⁡(u) ⇒ g′=1u g =  \ln(u) \Rightarrow g' = \frac{1}{u}

f′=1⇒f=u f' = 1 \Rightarrow f = u

Reemplazamos:

∫ln⁡(u)du=uln⁡(u)−∫ 1u⋅u du\int \ln(u) d u = u \ln(u) - \int \frac{1}{u} \cdot u \, du

∫ln⁡(u)du=uln⁡(u)−∫1  du\int \ln(u) d u = u \ln(u) - \int 1 \, du

∫ln⁡(u)du=uln⁡(u)−u+C\int \ln(u) d u = u \ln(u) - u + C

Ahora reemplazamos uu por ln⁡(x)\ln(x) para regresar a la variable original:
∫ln⁡(u) du=ln⁡(x)ln⁡(ln⁡(x))−ln⁡(x)+C\int \ln(u) \, du = \ln(x) \ln(\ln(x)) - \ln(x) + C 

Listooo, ya tenemos el resultado de nuestra integral :)

∫ln⁡(ln⁡(x))xdx= ln⁡(x)ln⁡(ln⁡(x))−ln⁡(x)+C\int \frac{\ln (\ln (x))}{x} d x = \ln(x) \ln(\ln(x)) - \ln(x) + C
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